当月嫂在提供劳务过程中发生意外时，责任的归属和后续处理需要根据具体情况来判断。以下是一些可能的处理方式和法律依据：

一、责任归属

1、雇主责任：如果月嫂的受伤是由于雇主提供的工作环境不安全、工作设备不当或管理不善等原因导致的，雇主需要承担相应的赔偿责任。雇主有责任为雇员提供一个安全的工作环境，并对雇员在工作中的安全负责。

2、月嫂自身责任：如果月嫂的受伤是由于她自身的疏忽、故意行为或违反操作规程导致的，那么她可能需要自己承担相应的后果。例如，月嫂在工作中未注意安全或未按照正确的程序操作设备，导致自己受伤，那么她可能需要对自己的伤害负责。

3、第三人责任：如果月嫂的受伤是由第三人的行为造成的，如他人故意伤害或交通事故等，月嫂有权请求该第三人承担侵权责任。同时，月嫂也有权请求雇主给予适当的补偿。雇主在补偿月嫂后，可以向造成损害的第三人追偿。

4、公司连带责任：如果月嫂是某一公司的员工，且公司未能提供足够的安全培训或未能确保工作环境的安全性，公司可能需要与雇主共同承担责任。在这种情况下，月嫂有权向公司追责。

二、法律依据

《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条规定：“个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。”这意味着，月嫂在提供劳务过程中受伤，责任的归属需要根据双方各自的过错来判断。

三、后续处理

1、及时救治：首先，应确保月嫂得到及时的救治，尽快送往医院或联系急救人员。

2、事故调查：对事故原因进行调查，了解事故发生的具体情况和原因，以便确定责任归属。

3、协商赔偿：根据事故调查结果和责任归属，双方应协商赔偿事宜。如果雇主或公司存在过错，应承担相应的赔偿责任。如果受伤是由第三方造成的，月嫂有权向第三方主张权利。

4、法律途径：如果双方无法协商达成一致，月嫂或雇主可以通过法律途径解决纠纷。月嫂可以寻求法律援助或向法院提起诉讼，要求对方承担相应的法律责任。

总之，当月嫂在提供劳务过程中发生意外时，应首先确保月嫂得到及时的救治，并对事故原因进行调查。根据事故调查结果和责任归属，双方应协商赔偿事宜。如果无法协商达成一致，可以通过法律途径解决纠纷。